[C++] 피보나치 수열과 황금비율

피보나치 수열은 수학에서 매우 유명하고 중요한 수열 중 하나.

탈리아 수학자 레오나르도 피사의 피보나치(Leonardo Pisano Fibonacci, 1170-1250)가 소개했으며, 그의 이름을 따서 피보나치 수열이라고 불린다.

피보나치 수열

피보나치 수열은 토끼 번식 이야기에서 출발한다.

어떤 남자가 벽으로 둘러싸인 장소에 한 쌍의 토끼들을 둔다. 만약 각 쌍이 두 번째 달부터 매달 토끼를 한 쌍씩 낳는다고 가정한다면 그 해에 얼마나 많은 쌍의 토끼가 생산되겠는가?
이 결과로써 생기는 수열은 다음과 같다.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ···
이 수열은 그 결실이 많다고 판명되었고, 수학과 과학의 많은 분야에서 적용되고 있다. 이 수열을 피보나치 수열이라 하고, 이 수열에서 나타나는 수들을 피보나치 수라고 한다.

규칙

• 첫 번째와 두 번째 항은 각각 1.
• 세 번째 항부터는 바로 앞의 두 항의 합.

기본 규칙은 처음 두 항은 1이고, 세 번째 항부터는 바로 앞의 두 항의 합이 된다는 것이다.
그래서 세 번째 항은 첫 번째 항 1과 두 번째 항 1을 더한 값인 2가 된다.
그리고 네 번째 항은 두 번째 항 1과 세 번째 항 2를 더한 값인 3이 된다.

수학공식

F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) for n > 2

Example

int fibonachi (int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return 1;
    else return fibonachi(n - 2) + fibonachi(n - 1);
}

황금비율

피보나치 수열은 자연과 예술에서도 나타나며, 황금비율과 관련이 깊다.
황금비율(Golden Ratio)은 수학, 예술, 자연과 건축 등 여러 분야에서 중요한 역할을 하는 미적 비율이다.

황금비율(Golden Ratio)은 그리스 문자 ‘피’(Phi)로 표현되며 대략 1.6180339887로, 두 수의 비율이 그 합과 큰 수의 비율과 같을 때 나타낸다.

황금비율의 정의

두 양의 수 a와 b (a > b)가 있을 때, (a + b) / a = a / b

황금비율의 수식

(a + b) / a = a / b = φ

φ은 황금비율

피보나치 수열과 황금비율

피보나치 수열에서 연속되는 두 항의 비율을 구하면, 수열이 진행됨에 따라 그 비율은 점점 황금비율에 근접해진다. 이러한 성질로 인해 피보나치 수열과 황금비율은 다양한 자연 현상과 예술 작품에서 발견되는 비례와 조화의 원리를 설명하는 데 사용되곤 한다.

미적인 관점에서 아름답다고 여겨지는 비율

조화롭고 균형잡힌 미감을 준다고 알려져 있으며 구조물, 그림, 조각에서 황금비율을 찾을 수 있다.

• 그리스 > 파르테논 신전
• 이집트 > 피라미드
• 레오나르도 다 빈치 > 모나리자

자연 현상에서의 발견

• 나선형 꽃잎 배열
• 나비의 날개
• 나선형의 갤럭시 구조
• 인체의 비례